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Propriété Produit scalaire et vecteurs orthogonaux Soient u ⃗ \vec u et v ⃗ \vec v deux vecteurs non nuls. u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 ⇔ u ⃗ \vec u\cdot \vec v=0 \Leftrightarrow \vec u et v ⃗ \vec v orthogonaux Exemple Prenons par exemple deux vecteurs que nous savons orthogonaux (dans un repère orthonormé): u ⃗ ( 1; − 1) \vec u (1;-1) et v ⃗ ( 1; 1) \vec v (1;1). u ⃗ ⋅ v ⃗ = 1 × 1 + ( − 1) × 1 = 1 − 1 = 0 \vec u \cdot \vec v = 1\times 1 + (-1)\times 1=1-1=0 On constate que leur produit scalaire est bien nul. Remarque Cette propriété est centrale pour cette leçon, il faudra toujours la garder en tête. Elle te permettra de prouver beaucoup de choses et ouvre sur un grand nombre d'applications en géométrie. Note qu'elle fonctionne dans les deux sens. Contrôle corrigé 5: Produit scalaire, suites – Cours Galilée. Le résultat du produit scalaire est un réel et non un vecteur, ne mets pas de flèche au dessus du 0 0! Dans les cas où, par contre, on parle de vecteur nul, il ne faudra pas oublier la flèche... Propriété Produit scalaire et vecteurs colinéaires Si A B ⃗ \vec {AB} et C D ⃗ \vec {CD} sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors: 1 er cas, vecteurs de même sens: A B ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD 2 e cas, vecteurs de sens opposés: A B ⃗ ⋅ C D ⃗ = − A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=-AB\times CD Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires vaut le produit de leurs normes: produit qui est positif si les deux vecteurs sont de même sens; négatif sinon.
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Tout ce paragraphe peut être interprété dans le plan ou dans l'espace. Dans toute la suite, le plan est muni d'un r epère orthonormé direct $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$. L'espace est muni d'un r epère orthonormé direct $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$. Théorème 1. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs dans l'espace. Produit scalaire : cours de maths en terminale S à télécharger en PDF.. Soit $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la direction $(AB)$ et $K$ le projeté orthogonal de $C$ sur la direction orthogonale à $(AB)$. Alors le vecteur $\vec{v_1}=\overrightarrow{AH}$ est le projeté orthogonal du vecteur $\vec{v}$ sur la direction de $\vec{u}$ et on a: $$\begin{array}{c} \boxed{~\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{v_1}~}\\ \boxed{~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}~}\\ \end{array}$$ Figure 1. Exercice résolu n°1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan comme indiqué dans la figure 1 ci-dessus.
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Je les ai reprises et améliorées. Cours produit scolaire saint. Vous trouverez un panel de l'ensemble de toutes les situations que vous pouvez rencontrer en Terminale. Impossible de ne plus savoir faire de récurrence après avoir travaillé sur ces fiches!! Et n'oubliez pas d'utiliser les annales du bac pour vous entrainer. Dans chaque sujet, vous avez automatiquement une question, dans les exercices sur les suites, qui nous amène à utiliser ce raisonnement par récurrence.
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Donner suivant le signe de la différence $v_{n+1} – v_n$ le sens de variation de la suite. 3- a) On sait que 0. 5>0; utiliser cette inégalité par équivalence successives pour montrer que $w_n$ > 0. b) Calculer l'expression de $w_{n+1}$ à partir de celle de $w_n$. Calculer le quotient $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}$ en comparant la valeur de ce quotient à 1 puis déterminer le sens de variation. Étude d'une suite à l'aide d'une fonction 1- L'expression de $f$ est obtenue en remplaçant tout $n$ présent dans l'expression de la suite $u_n$ par la variable $x$. 2- Étudier le sens de variation de la fonction en déterminant: le domaine de définition de la fonction $f$. Cours produit scalaire bts. le domaine de dérivabilité puis la fonction dérivée. le signe de la fonction dérivée. puis le sens de variation de la fonction suivant le signe de la fonction dérivée. Pour déduire le sens de variation de la suite Un, il suffit d'observer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0, +\infty[$ Calcul de produit scalaire de deux vecteurs 1- Utiliser la relation de Chasles sur le vecteur $\overrightarrow{BA}$ en utilisant le point $J$ puis calculer le produit en faisant un développement.
Propriété Propriétés calculatoires du produit scalaire Le produit scalaire, pour les calculs, se comporte comme la multiplication « classique ». Soient u ⃗ \vec u, v ⃗ \vec v, et w ⃗ \vec w trois vecteurs. Soit k k un réel.