Exercices Corrigés Sur Les Ensembles Ensemble - Analyse - Exoco-Lmd — Les Calendriers Préjuliens À Rome - Persée
Montrer que: A ∩ B = A ∩ C ⇔ A ∩ B − = A ∩ C −. Montrer que: { A ∩ C ≠ ∅ et B ∩ C = ∅ ⇒ A ∩ B − ≠ ∅ Montrer que: A ∪ B = B ∩ C ⇔ A ⊂ B ⊂ C. Montrer que: A ∩ B = ∅ ⇒ A = ( A ∪ B) ∖ B. Montrer que: C A×B E×E = ( C A E × E) ∪ ( E × C B E). Exercice 7 On considère l'ensemble suivant: E = {( x, y) ∈ ℝ + × ℝ + / √x + √y = 3}. Montrer que: E ≠ ∅. Montrer que: E ⊂ [ 0, 9] × [ 0, 9]. A-t-on E = [ 0, 9] × [ 0, 9].? Cliquer ici pour télécharger Les ensembles exercices corrigés 1 bac sm Devoir surveillé sur les ensembles Exercice 1 (4 pts) On considère dans ℝ les sous-ensembles suivants: A =] −∞, 3], B =] −2, 7] et C =] −5, +∞ [. Déterminer A ∖ B et B ∖ A, puis déduire A ∆ B. Déterminer A ∩ C et A ∪ C, puis en déduire A ∆ C. Déterminer ( A ∖ B) ∩ C (le complémentaire de ( A ∖ B) ∩ C de ℝ). Exercice 2 (6 pts) E = { π/6 + kπ/3 / k ∈ ℤ} et F = { π/3 + kπ/6 / k ∈ ℤ} Déterminer E ∩ [ − π/2, π]. Montrer que: π/3 ∉ E. Exercices corrigés sur les ensemble les. L'inclusion F ⊂ E est-elle satisfaite? Justifier Exercice 3 (6 pts) Déterminer en extension les ensembles: F = { x ∈ ℤ / 2x+1/x+1 ∈ ℤ} et C = {( x, y) ∈ ( ℤ *) 2 / 1/x + 1/y = 1/5} B = { x ∈ ℤ / ∣ x ∣ < 3}, E = { x ∈ ℤ / −5 < x ≤ 5} et A = E ∩ ℕ * A ∩ B, C ( A ∪ B) E, A ∖ B et ( A ∩ B) ∩ C ( A ∪ B) E Exercice 4 (4 pts) Soient A, B et C des parties d'un ensemble E. Montrer que: A − ⊂ B − ⇔ ( A ∖ B) ∪ B = A.
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Soient un ensemble et trois parties de. Montrer: 1). 2). 3). 4). Soit et deux ensembles. 1) Etudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de et. 2) Déterminer et. 1) Etudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de. 2) Si est bijective, déterminer. Soient un ensemble et et deux parties de. Exercices corrigés sur les ensemble.com. Résoudre dans les équations suivantes: 1) Montrer que est une relation d'équivalence. 2) Déterminer la classe d'équivalence de chaque de. On définit sur la relation par:. 2) Calculer la classe d'équivalence d'un élément de. Combien y-a-t-il d'éléments dans cette classe? Soit un ensemble ordonné. Vérifier que est une relation d'ordre. Soient trois ensembles, et deux applications. On considère l'application définie par:. On note aussi 1) Montrer que si et sont injectives, alors l'est aussi. Soient E un ensemble et une application telle que:. Montrer que est injective si et seulement si est surjective. Soient quatre ensembles et trois applications. Montrer que sont bijectives si et seulement si sont bijectives.
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Bonnes réponses: 0 / 0 n°1 n°2 n°3 n°4 n°5 n°6 n°7 n°8 n°9 n°10 Exercice 1 à 7: Classement de nombres dans des ensembles Exercices 8 à 10: Union et intersection d'intervalles
Conclusion: L'application Puisque Donc n'est pas injective Soit: Si est pair: Si est impair: On en déduit que est surjective Conclusion: 2) Donc: Si est impair: On en déduit: exercice 4 1) Soient et tels que On en déduit que Soit. Montrons qu'il existe tel que: Donc, pour tout triplet réel, il existe un triplet réel qui vérifie et qui est On conclut que Conclusion: 2) Directement d'après les résultats de la question précédente: 3) On a vu que tout élément de admet un antécédant par dans, donc: exercice 5 1) Si: Alors Si Soit: On en déduit que: On conclut que: 2) Si: Alors Si Soit: On en déduit que: On conclut que: 3) Conclusion: exercice 6 1) Soient,, des complexes quelconques. Reflexivité: car. Symétrie: car et donc. Exercices sur les ensembles de nombres. Transitivité: et alors donc. Donc:. 2) La classe d'équivalence d'un point est l'ensemble des complexes qui sont en relation avec, C'est-à-dire l'ensemble des complexes dont le module est égal à. Géométriquement, la classe d'équivalence de est donc le cercle de centre et de rayon: exercice 7 1) Evident, il suffit de remarquer que 2) Soit.
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Nous n'en avons conservé que des fragments. Polybe et Denys d'Halicarnasse l'ont consulté, mais avec des réserves. C'est également une des sources de Tite-Live et de Pline l'Ancien. Postérieurement, l'ouvrage fut traduit en latin. ❖ Bibliographie Dictionnaires et encyclopédies Britannica, Larousse et Universalis. Encyclopédie de la mythologie d'Arthur COTTERELL; (plusieurs éditions) Oxford 2000 Encyclopedia of Ancient Deities de de Charles RUSSELL COULTER et Patricia Turner Dictionnaire des mythologies en 2 volumes d'Yves BONNEFOY, Flammarion, Paris, 1999. L'encyclopédie de la mythologie: Dieux, héros et croyances du monde entier de Neil PHILIP, Editions Rouge et Or, 2010 Mythes et légendes du monde entier; Editions de Lodi, Collectif 2006. Mythes et mythologie de Félix GUIRAND et Joël SCHMIDT, Larousse, 1996. Dictionnaire des symboles de Jean CHEVALIER et Alain GHEERBRANT, 1997 Dictionnaire de la fable de François NOEL Dictionnaire critique de mythologie de Jean-loic LE QUELLEC et Bernard SERGENT Quelques autres livres pour approfondir ce sujet.
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Planche 1 Planche 2 Planche 3 Planche 4 Les 306 Fabius (4 planches) Spirou n°922 page n°19 du 15 décembre 1955 (scénario d'Octave Joly) Les 306 Fabius (4 planches) Spirou n°922 page n°19 du 15 décembre 1955 (scénario d'Octave Joly)
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Les pillages s'interrompirent un certain temps, mais les Véiens, avec le secours de l'armée étrusque, attaquèrent le poste de Crémère… Les Fabius reprirent la lutte contre les Véiens… Les Véiens étaient dépités et indignés; ils finirent par réagir et décidèrent de tendre un piège à un ennemi si présomptueux…. (Les Véiens les attirèrent avec du bétail, encerclés soudainement, les Fabius parvinrent à s'en sortir, ils se réfugièrent sur une colline) Le chemin les menait à une colline en pente douce. Ils s'y arrêtèrent d'abord; leur position dominante leur donna le temps de se ressaisir et de se remettre d'une si grande frayeur, ils repoussèrent même l'ennemi qui montait à l'attaque. Grâce à leur situation ces quelques hommes auraient tenu tête à l'ennemi si les Véiens, en contournant le massif par derrière, n'avaient atteint le sommet de la colline. C'était donc au tour de l'ennemi de dominer l'adversaire. Les Fabius furent massacrés jusqu'au dernier et le poste fut pris. On s'accorde sur le nombre de trois cent six morts... ».
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), le plus ancien des historiens romains. vivait vers l'an 220 av. -C. Il écrivit les Annales de l'histoire romaine depuis le règne de Romulus jusqu'à son temps; il n'en reste que peu de fragments. Il devait le surnom de Pictor à un de ses ancêtres qui avait peint le temple de la déesse Salus. Fabius Maximus Verrucosus (Q. ), surnommé Cunctator = temporiseur, fameux adversaire d' Hannibal, fut cinq fois consul (233-209 ans av. ), et fut nommé dictateur après la défaite de Trasimène, en 217. Contraint de partager le commandement avec Minutius Rufus, son maître de la cavalerie, il sauva cet imprudent général d'une défaite assurée (216). Il se signala, surtout pendant les six mois de sa dictature, en amusant Hannibal par des délais et des feintes; sans vouloir jamais livrer bataille. Après avoir ainsi fatigué et épuisé son armée, il la cerna près de Casilinum et il allait la forcer à se rendre à discrétion quand un stratagème la sauva. En 209, il reprit Tarente sur Hannibal, mais il flétrit sa victoire par des cruautés.
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Il reste notre principale source d'information pour la connaissance de l'histoire romaine. Il n'a pour ainsi dire pas eu recours à des documents originaux: toute sa documentation est de seconde main. Pour les événements les plus récents, il disposait de témoignages oraux, de Chroniques, de Mémoires, d'ouvrages composés par des témoins oculaires. Pour les siècles antérieurs, les documents étaient plus pauvres: l'histoire n'avait commencé d'être écrite à Rome qu'à la fin du 3è siècle. Il recourut aussi à des historiens grecs, comme Polybe. Pour remonter plus haut, il a du recourir à des traditions orales, voire à des poèmes populaires. Pour les débuts de la ville, il ne disposait que d'un tissu de légendes. De plus, l'incendie de Rome par les Gaulois en 390 avant J-C détruisit tous les documents antérieurs. Nous sommes en 479 avant J-C. La très riche ville étrusque de Véies, à 16 km au nord de Rome, donc au sud de l'Étrurie, est en guerre avec Rome Civilisations latines 13525 mots | 55 pages elle qui apporte le bois de construction.
Il doit cependant faire encore et toujours face aux guerres des Éques et des Véiens qui épuisent Rome. Le serment des Fabii Le Sénat peinait à entretenir des forts pour protéger Rome, le trésor s'épuisait et les citoyens rechignaient à ce genre de service armé. En cette année 479, Kaeso consul, son frère Marcus et l'ensemble des 306 Fabii prêtent un serment: celui de combattre à eux seuls, avec leurs clients (4. 000 environs), les Véiens. Cette décision a pour but de soulager Rome de ce front usant depuis des années. Ce dévouement continue de faire remonter la côte de popularité des Fabii auprès du peuple, cependant certains se demandent à juste titre si cette action était motivée par les intérêts de Rome ou pour s'accaparer le butin remporté lors de cette campagne. D'autres ont aussi pensé que les Fabii avaient préféré fuir les tumultes sociaux de Rome pour fonder leur propre établissement. Quoi qu'il en soit, les Fabii remontent la rivière Crémère sur une dizaine de kilomètres et se fortifient.