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$$ En déduire celle de $$P=\sum_{k=0}^n \left(\prod_{p=1}^m(k+p)\right). $$ Enoncé Quel est le coefficient de $x^ay^bz^c$ dans le développement de l'expression $(x+y+z)^n$? $${S}_{n}=\sum^{n}_{k=0} (-1)^k\binom{n}{k}^{2}\textrm{ et} {T}_{n}=\sum^{n}_{k=0}k\binom{n}{k}^{2}. $$ Enoncé L'objectif de l'exercice est de démontrer la (surprenante! ) formule suivante: $$\sum_{k=1}^n \binom nk\frac{(-1)^{k+1}}k=\sum_{k=1}^n\frac 1k. $$ Soit $x$ un réel non nul. Démontrer que $$\frac{1-(1-x)^n}{x}=\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p. $$ On pose pour $x\in\mathbb R$, $$f(x)=\sum_{k=1}^n \binom nk \frac{(-1)^k}k x^k. $$ Démontrer que, pour $x\in\mathbb R$, on a $$f'(x)=-\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p. $$ Conclure. Enoncé Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation $x^2-2y^2=1$ admet une infinité de solutions avec $x, y$ des entiers naturels. Soit $n\geq 1$. Démontrer qu'il existe deux entiers $x_n$ et $y_n$ tels que $(3+2\sqrt 2)^n =x_n+\sqrt 2 y_n. Somme d un produit fiche. $ Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
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Calculer explicitement $u_n$, puis en déduire la limite de la suite $(u_n)$. Enoncé Pour $n\in\mathbb N^*$ et $x\in\mathbb R$, on note $$P_n(x)=\prod_{k=1}^n \left(1+\frac xk\right). $$ Que valent $P_n(0)$, $P_n(1)$, $P_n(-n)$? Démontrer que pour tout réel non-nul $x$, on a $$P_n(x)=\frac {x+n}xP_n(x-1). $$ Pour $p\in\mathbb N^*$, écrire $P_n(p)$ comme coefficient du binôme. Enoncé Soit pour $n\in\mathbb N$, $u_n=(-2)^n$. Calculer les sommes suivantes: $$\sum_{k=0}^{2n} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{2n+1} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{2k};\quad \sum_{k=0}^{2n} (u_{k}+n);\quad \left(\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\right)+n;\quad \sum_{k=0}^{n} u_{k+n};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{kn}. Limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient ou de la composée de deux fonctions. $$ Simplifier la somme $\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k k$ en faisant des sommations par paquets. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mtn^*$, on a $$S_n=\sum_{k=1}^n (-1)^k k=\frac{(-1)^n (2n+1)-1}{4}. $$ Retrouver le résultat précédent. Enoncé Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$. Calculer $S_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k. $ En déduire la valeur de $T_n(x)=\sum_{k=0}^n k x^k.
Lorsqu'une expression comporte plusieurs opérations, on peut se demander s'il s'agit d'une somme ou d'un produit. C'est une somme car: on commence le calcul par la multiplication, elle est prioritaire: 3 × 4 = 12; on effectue l'addition: 2 + 12 = 14. Règle: pour savoir si une expression est une somme ou un produit, on regarde la dernière opération à effectuer en respectant les règles de priorité: si c'est une addition ou une soustraction, l'expression est une somme; si c'est une multiplication ou une division, l'expression est un produit. Exemples: • 2 + 3 + 4 × 4 = 2 + 3 + 16 = 5 + 16. Il s'agit d'une addition, donc l'expression 2 + 3 + 4 × 4 est une somme. • 2 × 4 − 25 ÷ 5 = 8 − 5. Somme d un produit bancaire. Il s'agit d'une soustraction, donc l'expression 2 × 4 − 25 ÷ 5 est une somme. • (2 + 3 × 4) ÷ (5 − 2) = (2 + 12) ÷ (3) = 14 ÷ 3. Il s'agit d'une division, donc l'expression (2 + 3 × 4) ÷ (5 − 2) est un produit.
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